题目内容

下列4个命题：
①已知
e
是单位向量，|
a
+
e
|=|
a
-2
e
|，则
a
在
e
方向上的投影为
1
2
；
②关于x的不等式a＜sin2x+
2
sin2x
恒成立，则a的取值范围是a＜2
2
；
③函数f（x）=alog2|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；
④将函数y=sin（2x+
π
3
）图象向右平移
π
3
个单位，得到函数y=sin2x的图象
其中正确的命题序号是
①
①
（填出所有正确命题的序号）．
分析：化简①由已知化简可得
a
•
e
=
1
2
e
2，而要求的等于|
a
|cos＜
a
，
e
＞，代入化简，即可判断正误．②不等式恒成立转化成函数的最值进行判断出；③通过举反例对③进行判断；④利用函数图象的平移判断正误即可；
解答：解：对于①，∵|
a
+
e
|=|
a
-2
e
|，∴（|
a
+
e
|）2=（|
a
-2
e
|）2，
展开化简可得：
a
•
e
=
1
2
e
2，
故
a
在
e
方向上的投影等于|
a
|cos＜
a
，
e
＞=
a
•
e
|
e
|
=
1
2
，所以①正确．
对于②∵0≤sin2x≤1，令sin2x=t，
∴sin2x+
2
sin2x
=t+
2
t
，则令f（t）=t+
2
t
，t∈[0，1]，
根据其图象可知，当x＞
2
时，f（t）为递增的，当0＜x≤
2
时，f（t）为递减的，
∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，∴sin2x+
2
sin2x
≥3
∵a＜sin2x+
2
sin2x
恒成立时，只要a小于sin2x+
2
sin2x
的最小值即可，所以a＜3，所以②不正确．
对于③当a=1，b=-1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错，
对于④将函数y=sin（2x+
π
3
）图象向右平移
π
3
个单位，得到函数y=sin（2x-
π
3
）的图象，所以④不正确．
正确只有①．
故答案为：①．
点评：本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来运算是解决问题的关键，不等式恒成立问题，考查的知识点比较多，属基础题．
练习册系列答案
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10、已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b，c，d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根；当k∈（0，4）时，f（x）-k=0只有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；
②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；
③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．
其中正确命题的序号是
①②④
．
6、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为（　　）
①若m∥α，n?α，则m∥n
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n③若m?α，n?β且m⊥n，则α⊥β
④若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α
已知下列4个命题：
①若f（x）为减函数，则-f（x）为增函数；
②若f（x）为增函数，则函数g(x)=
1
f(x)
在其定义域内为减函数；
③若函数f(x)=
(2-m)x+2m(x＜1)
(m-1)|x+1|(x≥1)
在R上是增函数，则a的取值范围是1＜m＜2；
④函数f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上都是奇函数，则f（x）•g（x）在区间[-a，a]（a＞0）是偶函数．
其中正确命题的序号是
①，④
①，④
．
已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，有下列4个命题：
①若a∥b，b?α，则a∥α；            ②若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α
③若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b；      ④若a，b异面，a?α，b?β，a∥β，则α∥β．
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．

给出的下列四个命题中：

①已知随机变量，，；

②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件；

③设圆与坐标轴有4个交点，分别为，则；

④关于x的不等式的解集为R，则

其中所有真命题的序号是_______.

 

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