Question

14．命题p：?x∈R，|x-1|+|x+1|≥a，命题q：?x∈R，使得不等式log₂（x²-2x+17）＜a有解，命题p，q有且仅有一个命题成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：|x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，-1＜x＜1}\\{-2x，x≤-1}\end{array}\right.$，由于?x∈R，|x-1|+|x+1|≥a，可得（|x-1|+|x+1|）_min≥a．
对于命题q：利用二次函数的单调性可得：x²-2x+17=（x-1）²+16≥16，由于x∈R，使得不等式log₂（x²-2x+17）＜a有解，可得$[lo{g}_{2}（{x}^{2}-2x+17）]_{min}$＜a．
命题p，q有且仅有一个命题成立，即p与q必然一真一假．解出即可．

解答 解：对于命题p：|x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，-1＜x＜1}\\{-2x，x≤-1}\end{array}\right.$，可得（|x-1|+|x+1|）_min=2，∵?x∈R，|x-1|+|x+1|≥a，∴2≥a．
对于命题q：∵x²-2x+17=（x-1）²+16≥16，∴x²-2x+17≥16．∵?x∈R，使得不等式log₂（x²-2x+17）＜a有解，∴log₂16＜a，即a＞4．
命题p，q有且仅有一个命题成立，即p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞4}\end{array}\right.$，
解得a≤2或a＞4．
∴实数a的取值范围是a≤2或a＞4．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、含绝对值的不等式的解法、二次函数的单调性、对数函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．