Question

已知抛物线C₁：y=x²，F为抛物线的焦点，椭圆C₂：（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF|=，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C₁交于A，B两个不同的点，l与椭圆C₂交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出M的坐标，利用|MF|=，及椭圆方程，即可求实数a的值；
（2）设出直线方程，分别与抛物线、椭圆方程联立，求出R，S的坐标，利用=0，结合条件，即可求得结论．
解答：解：（1）设M（x，y），|MF|=y+=，y=，x²=，代入+=1，+=1，
∴a²=，又0＜a＜2，∴a=；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点R（x_R，y_R），
y=kx+1，代入抛物线方程可得到x²-kx-1=0，
x₁+x₂=k，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=k²+2，∴R（）
设P（x₃，y₃），B（x₄，y₄），PQ中点S（x_S，y_S），
y=kx+1，代入椭圆方程可得到（2k²+a²）x²+4kx+2-2a²=0，
∴x₃+x₄=，y₃+y₄=k（x₃+x₄）+2=，
∴S（，），
由条件知，=0，∴=0，
∴-2k²+a²（k²+2）=0，
∴a²=2-，
∵，∴
∴∈，
∴a²∈（），
又0＜a＜2，∴a∈，此时△＞0恒成立
点评：本题考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．