题目内容
已知抛物线C1：y=x2，F为抛物线的焦点，椭圆C2：
+
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF|=
，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C1交于A，B两个不同的点，l与椭圆C2交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k 2＞
，求实数a的取值范围．
| x2 |
| 2 |
| y2 |
| a2 |
（1）若M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF|=
| 3 |
| 4 |
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C1交于A，B两个不同的点，l与椭圆C2交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k 2＞
| 1 |
| 2 |
分析：（1）设出M的坐标，利用|MF|=
，及椭圆方程，即可求实数a的值；
（2）设出直线方程，分别与抛物线、椭圆方程联立，求出R，S的坐标，利用
•
=0，结合条件，即可求得结论．
| 3 |
| 4 |
（2）设出直线方程，分别与抛物线、椭圆方程联立，求出R，S的坐标，利用
| OS |
| OR |
解答：解：（1）设M（x，y），|MF|=y+
=
，y=
，x2=
，代入
+
=1，
+
=1，
∴a2=
，又0＜a＜2，∴a=
；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点R（xR，yR），
y=kx+1，代入抛物线方程可得到x2-kx-1=0，
x1+x2=k，
y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2，∴R（
，
）
设P（x3，y3），B（x4，y4），PQ中点S（xS，yS），
y=kx+1，代入椭圆方程可得到（2k2+a2）x2+4kx+2-2a2=0，
∴x3+x4=
，y3+y4=k（x3+x4）+2=
，
∴S（
，
），
由条件知，
•
=0，∴
+
=0，
∴-2k2+a2（k2+2）=0，
∴a2=2-
，
∵k2＞
，∴k2+2＞
∴
∈(0，
)，
∴a2∈（
，2），
又0＜a＜2，∴a∈(
，
)，此时△＞0恒成立
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 2 |
| y2 |
| a2 |
| 1 |
| 4 |
| ||
| a2 |
∴a2=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点R（xR，yR），
y=kx+1，代入抛物线方程可得到x2-kx-1=0，
x1+x2=k，
y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2，∴R（
| k |
| 2 |
| k2+2 |
| 2 |
设P（x3，y3），B（x4，y4），PQ中点S（xS，yS），
y=kx+1，代入椭圆方程可得到（2k2+a2）x2+4kx+2-2a2=0，
∴x3+x4=
| -4k |
| 2k2+a2 |
| 2a2 |
| 2k2+a2 |
∴S（
| -2k |
| 2k2+a2 |
| a2 |
| 2k2+a2 |
由条件知，
| OS |
| OR |
| -2k2 |
| 2(2k2+a2)2 |
| a2(k2+2) |
| 2(2k2+a2) |
∴-2k2+a2（k2+2）=0，
∴a2=2-
| 4 |
| k2+2 |
∵k2＞
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴
| 4 |
| k2+2 |
| 8 |
| 5 |
∴a2∈（
| 2 |
| 5 |
又0＜a＜2，∴a∈(
| ||
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=-x对称，则C2的准线方程为（ ）
A、x=
| ||
B、x=-
| ||
C、x=
| ||
D、x=-
|