Question

在三棱锥S-ABC中，底面是边长为的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．
（1）若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；
（2）求二面角S-BC-A的余弦值大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以OB、OC、OS为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，由SB和底面成45°角得Rt△SOB中，S0=OB=3，从而得到A、B、C、S各点的坐标．设（0＜λ＜1），算出向量=（3-3λ，-，3λ），结合=（3，，0）且，解关于λ的方程得，即可求出满足条件的值；
（2）利用垂直向量数量积为0的方法，列方程解出是平面SBC的一个法向量，而是平面ACB的一个法向量，从而算出cos＜＞=，由此即可得出二面角S-BC-A的余弦值大小．
解答：解：（1）根据题意，OB、OC、OS所在直线两两互相垂直
因此以OB、OC、OS为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
∵SB和底面成45°角，∴Rt△SOB中，∠SB0=45°，S0=OB==3
由此可得C（0，，0），A（0，-，0），S（0，0，3），B（3，0，0）
设（0＜λ＜1），则
=（3-3λ，0，3λ）
∴==（3-3λ，0，3λ）-（0，，0）=（3-3λ，-，3λ）
∵=（3，，0），且
∴=3（3-3λ）+×（-）+0=0，解之得
故，可得，即=时CD⊥AB；
（2）设平面SBC的一个法向量为
则，取z=1得
∵是平面ACB的一个法向量
∴所成角（或其补角）就是二面角S-BC-A的平面角
∵cos＜＞===
由图形可知二面角S-BC-A是锐二面角
∴二面角S-BC-A的余弦值大小为arccos．
点评：本题在三棱锥中探索直线与直线垂直问题，并求二面角的大小．着重考查了利用空间向量的方法研究线面角、二面角大小和空间向量的夹角公式等知识，属于中档题．