题目内容

已知 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的周期和单调减区间；
（2）设A为锐角三角形的内角，且 $数学公式$ ，求tanA的值．

解：（1）因为 $\text{[math]}$
=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x+sinxcosx（2sin²x-1）- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴f（x）的周期为： $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
函数的单调减区间为 $\text{[math]}$ ．
（2）由f（A）= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
∵0 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
于是tan2A= $\text{[math]}$ =-1，
解得tanA=1+ $\text{[math]}$ 或tanA=1- $\text{[math]}$ ，
因为tanA＞0，
∴tanA=1+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过配方利用平方关系式、二倍角公式，然后利用两角和的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的周期和单调减区间；
（2）设A为锐角三角形的内角，利用 $\text{[math]}$ ，结合A的范围求出A的值，然后求出tanA的值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，平方关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．