Question

设双曲线C:-y²=1(a＞0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;

(2)设直线l与y轴的交点为P，且=,求a的值.

Answer 1

思路分析：向量与解析几何的综合，主要是通过向量的坐标形式来体现的，在解题过程中，注意将这两者进行灵活转换，从而找到最佳解题途径.

解：(1)由C与l相交于两个不同的点，知方程组有两组不同的实数解，消去y²并整理得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.                                                 ①

∴解得0＜a＜且a≠1.双曲线的离心率e=,

∵0＜a＜且a≠1,∴e＞且e≠,即离心率e的取值范围为(, )∪(,+∞).

（2）设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),P(0,1),∵=,∴(x₁,y₁-1)= (x₂,y₂-1).

由此得x₁=x₂,由于x₁、x₂都是方程①的根，且1-a²≠0,所以x₁+x₂=x₂=-,x₁x₂=x₂²=-.

消去x₂,得-=由a＞0,所以a=.

温馨提示

    在解答直线与圆锥曲线问题时,首先应判断斜率不存在时，是否满足题意，然后再设直线方程.据条件合理利用“判别式”确定某些字母的取值范围，注意它和函数、不等式的综合应用以及向量的具体应用.