Question

设双曲线C:-y²=1(a＞0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;

(2)设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.

Answer 1

解：(1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解,消去y并整理得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.                     ①

所以

解得0＜a＜且a≠1.

双曲线的离心率e==,

∵0＜a＜且a≠1,

∴e＞且e≠,即离心率e的取值范围为(,)∪(,+∞).

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),P(0,1),

∵=,

∴(x₁,y₁-1)=(x₂,y₂-1).

由此得x₁=x₂.

由于x₁、x₂都是方程①的根,且1-a²≠0,所以x₂=-,x₂²=-.

消去x₂得-=.

又a＞0,所以a=.