Question

3．已知a，b均为大于1的实数．则2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_{b}a}$的最小值为${2}^{\sqrt{2}+1}$．

Answer 1

分析 先换元，设t=log_ab，原式可写成${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，再两次运用基本不等式进行放缩，并且两次放缩取等条件一致，从而得出原式的最小值．

解答 解：设t=log_ab，则$\frac{1}{t}$=log_ba，
因为，a＞1，b＞1，所以，t＞0，$\frac{1}{t}$＞0，
原式=2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_{b}a}$=${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，
根据基本不等式，
${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$≥2•$\sqrt{{2}^{t}•{4}^{\frac{1}{t}}}$=2•$\sqrt{{2}^{t+\frac{2}{t}}}$≥2$\sqrt{{2}^{2\sqrt{2}}}$=${2}^{\sqrt{2}+1}$，
所以，2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_{b}a}$的最小值为${2}^{\sqrt{2}+1}$，
当且仅当：2^t=${4}^{\frac{1}{t}}$且t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$（两次放缩取等条件一致），原式取得最小值，
故答案为：${2}^{\sqrt{2}+1}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及对数的运算和换元法的运用，尤其是两次放缩能同时取等，属于中档题．