Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，且各棱长都相等点E是边AB的中点，则直线C₁E与平面BB₁CC₁所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：过点E作EF⊥BC于点F，连接FC₁，可证明∠EC₁F即为直线C₁E与平面BB₁CC₁所成角，设各棱长为1，通过解直角三角形可求得EF，FC₁的长，从而可求tan∠EC₁F=．
解答：解：如下图所示：过点E作EF⊥BC于点F，连接FC₁，
因为BB₁∥AA₁，AA₁⊥底面ABC，所以BB₁⊥底面ABC，
BB₁?面BC₁，所以面BB₁⊥底面ABC，
所以EF⊥面BC₁，则∠EC₁F即为直线C₁E与平面BB₁CC₁所成角，
设各棱长为1，在Rt△EFB中，EF=BE•sin∠EBF=×sin60°=，BF=BE•cos∠EBF=cos60°=，
在Rt△C₁CF中，==，
所以tan∠EC₁F===．
故选A．
点评：本题考查直线与平面所成的角的求解问题，考查学生的计算能力，属中档题，准确理解线面角的定义是解决该类题目的基础．