Question

【题目】如图，已知四棱锥中，四边形为矩形，，，.

（1）求证：平面；

（2）设，求平面与平面所成的二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）证明BC平面SDC，即可证得AD平面SDC，即可证得SCAD，利用SC2+SD2=DC2证得SCSD，问题得证。

（2）以点O为原点，建立坐标系如图，求得S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0)，利用即可求得E(2,,0)，求得 ， ，利用空间向量夹角公式计算即可得解。

（1）证明： BCSD ，BCCD

则BC平面SDC, 又

则AD平面SDC，平面SDC

SCAD

又在△SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2

则SCSD ，又

所以 SC平面SAD

（2）解：作SOCD于O，因为BC平面SDC,

所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD

以点O为原点，建立坐标系如图.

则S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0)

设E(2,y,0),因为

所以 即E((2,,0)

令，则，

，令，则，

所以所求二面角的正弦值为