题目内容
已知
=(2cos2x，1)，
=（1，2
sinxcosx+m）（x∈R，m∈R，m是常数）且y=
•
．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，
]时，f（x）的最大值为4，求m的值；
（3）求f（x）的最小正周期及单调减区间．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，
| π |
| 2 |
（3）求f（x）的最小正周期及单调减区间．
分析：（1）利用两个向量的数量积以及两角和的正弦公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+
）+m+1．
（2）由题意可得，2sin（2x+
）+m+1的最大值为4，由此求得m的值．
（3）根据f（x）解析式求得它的最小正周期为T=
=π，令 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求出x的范围，即可求得f（x）的单调减区间．
| π |
| 6 |
（2）由题意可得，2sin（2x+
| π |
| 6 |
（3）根据f（x）解析式求得它的最小正周期为T=
| 2π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
解答：解：（1）∵由题意可得y=
•
=2cos2x+2
sinxcosx+m=cos2x+
sin2x+m+1=2sin（2x+
）+m+1．
即 f（x）=2sin（2x+
）+m+1．
（2）由上可得，2sin（2x+
）+m+1的最大值为4，故m=1．
（3）f（x）的最小正周期为T=
=π，令 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，解得 kπ+
≤x≤kπ+
，k∈z，
故单调减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈z．
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
即 f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
（2）由上可得，2sin（2x+
| π |
| 6 |
（3）f（x）的最小正周期为T=
| 2π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
故单调减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的公式、两角和的正弦公式的应用，正弦函数的周期性和单调性的应用，属于中档题．
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