Question

（2007•青岛一模）已知

a

=(cos2α，sinα)，

b

=(1，2sinα-1)，α∈(

π

2

，π)，

a

•

b

=

2

5

，求

5 2 sin2α-4cos(α+ π 4 )

2cos2 α 2

的值．

Answer 1

分析：由

a

•

b

=

2

5

可求得sinα=

3

5

；α∈（

π

2

，π）可求得cosα=-

4

5

，利用二倍角的正弦与余弦及两角和的余弦即可求得

5 2 sin2α-4cos(α+ π 4 )

2cos2 α 2

的值．

解答：解：∵

a

•

b

=cos2α+sinα（2sinα-1）=2cos²α-1+2sin²α-sinα=1-sinα=

2

5

，
∴sinα=

3

5

…4分
∵α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

4

5

…6分
∴cos（α+

π

4

）=

2

2

cosα-

2

2

sinα=-

7 2

10

…8分
∴

5 2 sin2α-4cos(α+ π 4 )

2cos2 α 2

=

5 2 ×2× 3 5 ×(- 4 5 )+ 28 2 10

- 4 5 +1

=-10

2

…12分

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查二倍角的正弦与余弦及两角和的余弦的应用，考查运算能力，属于中档题．