Question

设常数a＞0，对x₁，x₂∈R，P（x，y）是平面上任意一点，定义运算“?”：x₁?x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，d1(P)=

1

2

x?x+y?y

，d2(P)=

1

2

(x-a)?(x-a)

．
（1）若x≥0，求动点P(x，

x?a

)的轨迹C；
（2）计算d₁（P）和d₂（P），并说明其几何意义；
（3）在（1）中的轨迹C中，是否存在两点A₁，A₂，使之满足d1(A1)=

a

d2(A1)且d1(A2)=

a

d2(A2)？若存在，求出a的取值范围，并请求出d₁（A₁）+d₁（A₂）的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由新定义运算“?”：x₁?x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，，化简

x?a

即可求得；（2）利用新定义运算进行化简，借助于函数关系说明其几何意义；（3）把探索型命题转化为封闭型命题求解．

解答：解：（1）由y=

x?a

=

(x+a)2-(x-a)2

=

4ax

，
可知：y²=4ax（x≥0，y≥0），所以轨迹C为抛物线y²=4ax（x≥0，y≥0）在第一象限内的部分（包括原点）；
（2）d₁（P）=

1

2

x?x+y?y

=

1

2

4x2+4y2

=

x2+y2

，
d₂（P）=

1

2

4(x-a)2

=|x-a|，
分别表示P点到原点和到直线x=a的距离；
（3）设若存在为A₁（x₁，y₁）A₂（x₂，y₂），则由d₁（A₁）=

a

d2(A1）且d₁（A₂）=

a

d2(A2）
得

x12+y12 = a |x1-a x12+y22 = a |x2-a

，即

x12+4ax1=a(x12-2ax1+a2) x22+4ax2=a(x22-2ax2+a2)

，即

(a-1)x12-(4a+2a2)x1+a3=0 (a-1)x22-(4a+2a2)x2+a3=0

，
所以x₁、x₂是方程（a-1）x²-（4a+2a²）x+a³=0的两个根．…2分
要使A₁，A₂存在，必须

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

＜br/＞，即

(4a+2a2)2-4(a-1)a3＞0 4a+2a2 a-1 ＞0 a3 a-1 ＞0

，所以必须a＞1
当a＞1时，由于（x₁-a）（x₂-a）=x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²=

a3

a-1

-a

4a+2a2

a-1

+a2=
 
=

a3-4a2-2a3+a3-a2

a-1

=

-5a2

a-1

＜0，即x₁-a与x₂-a异号．
所以d₁（A₁）+d₁（A₂）=

a

(|x1-a|+|x2-a|）=

a

|(x1-a)-(x2-a）|=

a

(2a2+4a)2 (a-1)2 - 4a3 a-1

=

2a a

a-1

5a+4

．…2分

点评：本题是新定义运算题，解题的关键是理解新定义运算，并进行化简．探索型问题通常是假设存在转化为封闭型命题解决．