Question

设常数a＞0，对x₁，x₂∈R，P（x，y）是平面上任意一点，定义运算“?”：x₁?x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，，．
（1）若x≥0，求动点的轨迹C；
（2）计算d₁（P）和d₂（P），并说明其几何意义；
（3）在（1）中的轨迹C中，是否存在两点A₁，A₂，使之满足且？若存在，求出a的取值范围，并请求出d₁（A₁）+d₁（A₂）的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由新定义运算“?”：x₁?x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，，化简即可求得；（2）利用新定义运算进行化简，借助于函数关系说明其几何意义；（3）把探索型命题转化为封闭型命题求解．
解答：解：（1）由y=，
可知：y²=4ax（x≥0，y≥0），所以轨迹C为抛物线y²=4ax（x≥0，y≥0）在第一象限内的部分（包括原点）；
（2）d₁（P）===，
d₂（P）==|x-a|，
分别表示P点到原点和到直线x=a的距离；
（3）设若存在为A₁（x₁，y₁）A₂（x₂，y₂），则由d₁（A₁）=）且d₁（A₂）=）
得，即，
所以x₁、x₂是方程（a-1）x²-（4a+2a²）x+a³=0的两个根．…2分
要使A₁，A₂存在，必须
，所以必须a＞1
当a＞1时，由于（x₁-a）（x₂-a）=x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²==
 
=＜0，即x₁-a与x₂-a异号．
所以d₁（A₁）+d₁（A₂）=-a|）=-a）|=
=．…2分
点评：本题是新定义运算题，解题的关键是理解新定义运算，并进行化简．探索型问题通常是假设存在转化为封闭型命题解决．