Question

设椭圆中心为O，一个焦点F（0，1），长轴和短轴长度之比为t．
（1）求椭圆方程；
（2）设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分交点为Q，点P在该直线上，且

|OP|

|OQ|

=t

t2-1

，当t变化时，求点P轨迹．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得c，根据a：b=t和a²-b²=1进而求得a²和b²，答案可得．
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q（x₁，y₁），P（x，y），直线方程与抛物线方程联立求得x₁和y₁，进而根据

|OP|

|OQ|

=

|x|

|x1|

=t

t2-1

求得x和y的关系．

解答：解：（1）依题意知，c=1，a：b=t，即a=bt
∵a²-b²=1
∴b²=

1

t2-1

，a²=

t

t2-1

故椭圆方程为

y2

t2 t2-1

+

x2

1 t2-1

=1
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q（x₁，y₁），P（x，y），
则

y=tx y2 t2 t2-1 + x2 1 t2-1 =1

，解得

x1= 1 2(t2-1) y1= t 2(t2-1)

∵

|OP|

|OQ|

=t

t2-1

，
∴

x= t 2 y= t2 2

或

x=- t 2 y=- t2 2

而t＞1，于是点P的轨迹方程为：
x2=

2

2

y(x＞

2

2

)，x2=-

2

2

y(x＜-

2

2

)，
点P的轨迹为抛物线x²=

2

2

y在直线x=

2

2

右侧的部分和抛物线x²=-

2

2

y在直线x=-

2

2

左侧的部分．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线与直线的关系．圆锥曲线是解析几何的重点内容，综合性强，计算量大，对基础知识要求很高．