Question

【题目】如图，棱长为的正方形中，点，分别是边，上的点，且，将，沿，折起，使得，两点重合于点上，设与交于点，过点作于点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见证明（2）

【解析】

（1）由平面可得，结合可得平面，故，又得出平面；

（2）建立空间坐标系，求出各点坐标，计算平面的法向量，则为直线与平面所成角的正弦值．

（1）证明：在正方形中，，，

∴，在的垂直平分线上，∴，

∵，，，∴平面∴，

又，，∴平面，∴，

又，，∴底面．

（2）解：如图过点作与平行直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

， ， ， ，，

∴，，，

设平面的法向量，则，即，

取，

记直线与平面所成角为，则，

故直线与平面PDF所成角的正弦值为．