Question

已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程有解，求实数m的取值范围；
（3）若存在实数，使成立，求证：．

Answer 1

（1）递增区间为，递减区间为；（2）;（3）详见解析.

试题分析:（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；
（2）若方程有解有解，令，则原问题转化为求g（x）的值域，而m只要再g（x）的值域内即可。故对g（x）求导，则令，，所以在递增，在递减，，故;
（3）根据的结构，构造辅助函数，则由（2）知，在递增，在递减，由条件有，不妨设，则必有，于是，再利用反证法证明，假设，则，
即，令，则有，即 （*），、令.，因为恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上是减函数，故,时，，这与（*）矛盾！所以原不等式得证，即．
试题解析：解：（1），        1分
令，或             3分
所以递增区间为，递减区间为          4分
（2），令，则
令，，
所以在递增，在递减，                    6分
，故                       8分
(3)令，则由（2）知，在递增，在递减.
由条件有，不妨设，则必有，于是        9分
假设，则，
即，令，
则有，即 （*），
令.，      11分
因为恒成立，所以在上是增函数，
所以，所以在上是减函数，
故,时，，这与（*）矛盾！
所以原不等式得证，即．    13分