Question

A，B，C是圆O上的三点，∠AOB=120°，CO的延长线与线段AB交于点D，若

OC

=m

OA

+n

OB

（m，n∈R），则m+n的取值范围是

[-2，-1]

．

Answer 1

分析：利用已知条件，两边平方，结合基本不等式，即可求得结论．

解答：解：设圆的半径为1，则由题意m≤0，n≤0
∵

OC

=m

OA

+n

OB

，|OC|=|OB|=|OA|=1，∠AOB=120°，
∴

OC

2=m2+n2+2mn•

OA

•

OB

=m²+n²+2mn•cos120°=（m+n）²-3mn=1．                              
∴（m+n）²=1+3mn≥1，
∴m+n≤-1，
∵（m+n）²=1+3mn≤1+

3

4

（m+n）²，
∴（m+n）²≤4
∴m+n≥-2
∴m+n的取值范围是[-2，-1]
故答案为：[-2，-1]

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．