Question

（2012•杭州二模）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若

OC

=m

OA

+n

OB

，则m+n的取值范围是（　　）

A．（0，1）

B．（1，+∞）

C．（-∞，-1）

D．（-1，0）

Answer 1

分析：先利用向量数量积运算性质，将

OC

=m

OA

+n

OB

两边平方，消去半径得m、n的数量关系，再利用特殊值代入法排除B、C，利用向量加法的平行四边形法则，可判断m+n一定为负值，排除A，从而可得正确选项

解答：解：∵|OC|=|OB|=|OA|，

OC

=m

OA

+n

OB

，
∴

OC

 2=(m

OA

+n

OB

) 2=m2

OA

2+n2

OB

2+2mn

OA

•

OB

∴1=m²+n²+2mncos∠AOB
当∠AOB=60°时，m²+n²+mn=1，即（m+n）²-mn=1，即（m+n）²=1+mn＜1，
∴-1＜m+n＜1，排除 B、C
当

OA

，

OB

趋近射线OD，由平行四边形法则

OC

=

OE

+

OF

=m

OA

+n

OB

，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，排除A；
故选 D

点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，难度较大