Question

直线y=k(x+2)+

1

2

与曲线y²=x只有一个公共点，则k=（　　）

• A、-

  1

  2

  ，

  1

  4

• B、-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ，0
• C、

  1

  2

• D、

  1

  4

Answer 1

分析：当斜率k=0 时，直线y=k（x+2）+

1

2

平行于x轴，与抛物线y²=x仅有一个公共点，当斜率不等于0时，把y=k（x+2）+

1

2

代入抛物线的方程化简，由判别式△=0求得实数k的值．

解答：解：当斜率k=0 时，直线y=k（x+2）+

1

2

平行于x轴，与抛物线y²=x仅有一个公共点．
当斜率不等于0时，把y=k（x+2）+

1

2

代入抛物线y²=x整理得ky²-y+2k+

1

2

=0．
 由题意可得，此方程有唯一解，
故判别式△=1-4k（2k+

1

2

）=0
∴k=-

1

2

或k=

1

4

，
综上得：k=0，-

1

2

或

1

4

．
故选B．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程有唯一解的条件，体现了分类讨论的数学思想．本题的易错点在于忘记讨论k=0的情况，从而得到错误结论．