题目内容

利用通项求和，求1+11+111+…+之和．
【答案】分析：由于==，然后利用分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解
解答：解：由于==                       
∴1+11+111+…+=

=
=
=
点评：本题主要考查了数列的求和及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是寻求数列的项的规律
练习册系列答案
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利用通项求和，求1+11+111+…+
111…1
n个1
之和．

已知正项数列的前n项和满足：，

（1）求数列的通项和前n项和；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

【解析】第一问中，由于所以

两式作差，然后得到

从而得到结论

第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

第三问中，

又

       

结合放缩法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正项数列，∴           ∴ 

又n=1时，

∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  对任意的，都成立．

 
利用通项求和，求1+11+111+…+
111…1
n个1
之和．

在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q,且b2+ S2=12，.（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设数列{cn}满足，求{cn}的前n项和Tn.

【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用。第一问中，利用等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q,且b2+ S2=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通项公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.     第二问中，，由第一问中知道，然后利用裂项求和得到Tn.

解： (Ⅰ) 设：{an}的公差为d,

因为解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因为……………8分

 

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