Question

已知，f（x）=xlnx，g（x）=ax²+bx-1，函数y=g（x）的导数g′（x）的图象如图所示．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）d≥f（x）-g（x）对一切x＞0恒成立，求实数d的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）g'（x）=2ax+b，利用一次函数的图象与性质求解a，b，即可求得g（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，由于x＞0，可以通过研究T（x）=lnx-x+1＞0恒成立解决．
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h'（x）=lnx-2x+2（x＞0），通过研究其单调性结合零点存在定理解决．
解答：解（Ⅰ）∵g（x）=ax²+bx-1，∴g'（x）=2ax+b
由图可知b=-1，∴g'（x）=2ax-1，
将代入计算得a=1，
∴g（x）=x²-x-1．…3分
（Ⅱ）设T（x）=lnx-x+1（x＞0）．
∴，∴当0＜x＜1时，T'（x）＞0，T（x）单调递增，当x＞1时，T'（x）＜0，T（x）单调递减．
∴T（x）_max=T（x）_极大=T（1）=0，即对一切x＞0，都有lnx-x+1≤0，
∴xlnx-x²+x≤0，即xlnx-x²+x+1≤1．
由（Ⅰ）得f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，所以对一切x＞0都有f（x）-g（x）≤1．
所以实数求d的取值范围是[1，+∞）．…8分
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h'（x）=lnx-2x+2（x＞0）．
设t（x）=lnx-2x+2（x＞0），则，所以当时，t'（x）＞0，h'（x）=t（x）是增函数，当时，t'（x）＜0，h'（x）=t（x）是减函数，所以．
又h'（e^-2）=-2e^-2＜0，所以在区间上存在唯一的实数x，使得h'（x）=t'（1）=0（e是自然对数的底数），
所以当x变化时，h'（x）、h（x）的变化情况如下表：

x	（0，x）	x	（x，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-		+		-
h（x）	↘	极小值	↗	极大值1	↘

∴，且h'（x）=lnx-2x+2=0，∴．
∵h（x）在区间（1，+∞）递减，h（e）=2e-e²+1＜0，∴在区间（1，e）上存在唯一一点x，使得h（x）=0．
综上所述，函数h（x）的零点个数是1．…14分．
点评：本题考查导数知识的运用，函数的单调性，查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，化归与转化思想．数形结合的思想，综合性强