Question

设集合A={x|

x-3

2-x

≥0}，奇函数y=f（x）（x∈R）为R上的减函数，集合B={x|f[{lg（1+2ax）]+f[-lg（a+x）]＞0，0＜a≤

1

2

}．若A?B．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解分式不等式，化简得A={x|2＜x≤3}．根据函数为奇函数化简集合B，得不等式lg（1+2ax）＜lg（a+x），结合对数的运算性质，建立关于x的不等式组，从而得出B={x|x＞

a-1

2a-1

}．最后利用A

?

≠

B建立关于a的不等式组，解之可得实数a的取值范围．

解答：解：化简，得A={x|2＜x≤3}
∵f（x）是奇函数，∴f[lg（1+2ax）]+f[-lg（a+x）]＞0，
即f[lg（1+2ax）]＞f[lg（a+x）]
又∵f（x）是减函数，∴lg（1+2ax）＜lg（a+x）
由A

?

≠

B知B≠∅，∴

1+2ax＞0 a+x＞0 1+2ax＜a+x

，可得

1+2ax＞0 (2a-1)x＜a-1

（1）若a=

1

2

，则B=∅，这与题设矛盾不可能．
（2）若0＜a＜

1

2

则x＞

a-1

2a-1

且x＞-

1

2a

∴由

a-1

2a-1

＞-

1

2a

，得B={x|x＞

a-1

2a-1

}
∵A

?

≠

B，∴

a-1

2a-1

≤2，解之得0＜a≤

1

3

．
综上所述，可得实数a的取值范围是(0，

1

3

]．

点评：本题以集合的包含关系为载体，求满足条件的参数a的范围．着重考查了函数的简单性质、对数的运算法则和不等式的解法等知识，属于中档题．