Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点作互相垂直的两弦OA，OB．
（1）求AB中点p的轨迹方程；
（2）求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）及中点P的坐标，根据中点的定义得到三点坐标之间的关系，再由OA⊥OB得到

y1

x1

•

y2

x2

=-1，再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y₁y₂、y₁²+y₂²的关系消去x₁、y₁、x₂、y₂可得到最后答案．
（2）先设M（x，y），然后联立y=kx、y=-

x

k

与抛物线求出两交点坐标，进而得到直线OM的斜率、方程和直线AB的方程，最后联立直线OM和直线AB的方程可得到射影M的轨迹方程．

解答：解：设A、B两点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），AB中点P坐标为（x₀，y₀），则
x₁+x₂=2x₀
y₁+y₂=2y₀

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即y₁y₂=-x₁x₂
y₁²=2px₁
y₂²=2px₂
（y₁y₂）²=4p²x₁x₂=-4p²y₁y₂
y₁y₂=-4p²
y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
（y₁+y₂）²-2y₁y₂=2p（x₁+x₂）
4y₀²+8p²=4px₀
y₀2=px₀-2p²
所以中点轨迹方程为：y²=px-2p²
（2）设M（x，y）
y=kx与抛物线联立的交点坐标为（

4p

k2

，

4p

k

），y=-

x

k

与抛物线联立的交点坐标为（4pk²，-4pk），
从而kOM=

k2-1

k

，故OM方程为：y=

k2-1

k

x    ①?
AB方程为：y+4pk=-

k

k2-1

（x-4pk²）      ②?
①×②得：y₂+4pky=-x•（x-4pk²）即：
x₂+y₂=-4pky+4pk²x=4p•（k²x-ky）         ③?
由①得：k²x-ky=x代入③并化简得：（x-2p）²+y₂=4p²．?
所以点M的轨迹方程为：（x-2p）²+y2=4p²，其轨迹是以（2p，0）为圆心，半径为2p的圆．

点评：本题主要考查直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点内容，每年必考．