Question

数列的前项和为，且满足，（为常数，）.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若数列是等比数列，求实数的值.

（Ⅲ）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为 ，，

        所以 ，.

        因为 ，

        所以 ，即.         

所以 .

所以 数列是以1为首项，3为公差的等差数列.

所以 .                  

（Ⅱ）若数列是等比数列，则.

     由（Ⅰ）可得：.                    

     解得：.

     当时，由得：.

    显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列.

    所以 .                                              

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知：.

    所以 ，即数列就是一个无穷等差数列.

    所以 当时，可以得到满足题意的等差数列.

    当时，因为 ，，即，

    所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列.

    所以 .

下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.

假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为. 设数列的公差为.

①当时，.

所以 数列是各项均为正数的递减数列.

所以 .

因为 ，

所以 当时，，这与矛盾.

②当时，令，解得：.

所以 当时，恒成立.

所以 数列必然是各项均为负数的递增数列.

所以 .

因为 ，

所以 当时，，这与矛盾.

综上所述，是唯一满足条件的的值.