Question

已知不等式|2x-3|＜

2x+a+1

2

的解集为P．
（1）若P≠?，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使P∩Z={6，8}，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）化简绝对值不等式可得-

2x+a+1

2

＜2x-3＜

2x+a+1

2

，进一步化简为（6x+a-5）（2x-a-7）＜0，要使此不等式有解，

5-a

6

≠

a+7

2

，由此求得实数a的取值范围．
（2）若P∩Z={6，8}，则

5＜ 5-a 6 ＜6 8＜ a+7 2 ＜9

，由于此不等式组无解，从而得到不存在满足要求的实数a．

解答：解：（1）∵|2x-3|＜

2x+a+1

2

，∴-

2x+a+1

2

＜2x-3＜

2x+a+1

2

，
∴(2x-3+

2x+a+1

2

)(2x-3-

2x+a+1

2

)＜0，即（4x-6+2x+a+1）（4x-6-2x-a-1）＜0，
即（6x+a-5）（2x-a-7）＜0，要使此不等式有解，

5-a

6

≠

a+7

2

，a≠-4，
即实数a的取值范围是（-4，+∞）∪（-∞，-4）．
（2）由（1）可得P=（

5-a

6

，

a+7

2

），或P=(

a+7

2

，

5-a

6

)．
当P=（

5-a

6

，

a+7

2

），由于P∩Z={6，8}，则

5＜ 5-a 6 ＜6 8＜ a+7 2 ＜9

，
∴

30＜5-a＜36 16＜a+7＜18

，即 

-31＜a＜-25 9＜a＜11

 无解．
当P=(

a+7

2

，

5-a

6

)，则有

8＜ 5-a 6 ＜9 5＜ a+7 2 ＜6

，即

48＜5-a＜54 10＜a+7＜16

，
即

-49＜a＜-43 3＜a＜9

，无解．
∴不存在满足要求的实数a．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．