Question

13．解关于x的不等式$\frac{ax-1}{x+1}$＞0（a∈R）

Answer 1

分析 将不等式等价于（ax-1）（x+1）＞0，对a分类讨论后，分别由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．

解答 解：$\frac{ax-1}{x+1}$＞0等价于（ax-1）（x+1）＞0，
（1）当a=0时，-（x+1）＞0，解得x∈（-∞，-1）
（2）当a＞0时，解得$x∈（-∞，-1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$，
（3）当a＜0时，
①$\frac{1}{a}$=-1，即a=-1时，解得x∈ϕ
②$\frac{1}{a}$＞-1，即a＜-1时，解得$x∈（-1，\frac{1}{a}）$，
③$\frac{1}{a}$＜-1，即-1＜a＜0时，解得$x∈（\frac{1}{a}，-1）$，
综上可得，当a=0时，不等式的解集是（-∞，-1）
当a＞0时，不等式的解集是$（-∞，-1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$，
当a=-1时，不等式的解集是ϕ，
当a＜-1时，不等式的解集是$（-1，\frac{1}{a}）$，
当-1＜a＜0时，不等式的解集是$（\frac{1}{a}，-1）$．

点评 本题考查了分式不等式的等价转化与解法，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想、转化思想，化简、变形能力．