Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线y=

3

x

上．
（Ⅰ）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB的面积为定值；
（Ⅱ）设直线l：y=-

3

3

x+4与圆M 交于不同的两点C，D，且|OC|=|OD|，求圆M的方程；
（Ⅲ）设直线y=

3

与（Ⅱ）中所求圆M交于点E、F，P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线GH过定点．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为(x-t)2+(y-

3

t

)2=t2+

3

t2

，求出圆M分别与x轴、y轴交于点A、B的坐标，利用面积公式，可得：△AOB的面积为定值；
（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再验证，即可求圆M的方程；
（Ⅲ）设P（5，y₀），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），整理得2x₁x₂-7（x₁+x₂）+20=0．①设直线GH的方程为y=kx+b，代入(x-1)2+(y-

3

)2=4，利用韦达定理，确定直线方程，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为(x-t)2+(y-

3

t

)2=t2+

3

t2

，
即x2+y2-2tx-

2 3

t

y=0．
令x=0，得y=

2 3

t

；令y=0，得x=2t．
∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

|2t|•|

2 3

t

|=2

3

（定值）．…（4分）
（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l．
所以kOM=

3

t2

=

3

，解得t=±1．
当t=1时，圆心M(1，

3

)到直线l：y=-

3

3

x+4的距离d=2(

3

-1)小于半径，符合题意；
当t=-1时，圆心M(-1，-

3

)到直线l：y=-

3

3

x+4的距离d=2(

3

+1)大于半径，不符合题意．
所以，所求圆M的方程为(x-1)2+(y-

3

)2=4．…（8分）
（Ⅲ）设P（5，y₀），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），又知E(-1，

3

)，F(3，

3

)，
所以kPE=

y0- 3

6

=

y1- 3

x1+1

=kGE，kPF=

y0- 3

2

=

y2- 3

x2-3

=kFH．
因为3k_PE=k_PF，所以9×

(y1- 3 )2

(x1+1)2

=

(y2- 3 )2

(x2-3)2

．
将(y1-

3

)2=4-(x1-1)2，(y2-

3

)2=4-(x2-1)2代入上式，
整理得2x₁x₂-7（x₁+x₂）+20=0．①
设直线GH的方程为y=kx+b，代入(x-1)2+(y-

3

)2=4，
整理得(1+k2)x2+(2kb-2

3

k-2)x+b2-2

3

b=0．
所以x1+x2=-

2kb-2 3 k-2

1+k2

，x1•x2=

b2-2 3 b

1+k2

．
代入①式，并整理得b2+(7k-2

3

)b+10k2-7

3

b+3=0，
即(b+2k-

3

)(b+5k-

3

)=0，
解得b=

3

-2k或b=

3

-5k．
当b=

3

-2k时，直线GH的方程为y=k(x-2)+

3

，过定点(2，

3

)；
当b=

3

-5k时，直线GH的方程为y=k(x-5)+

3

，过定点(5，

3

)…（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．