Question

函数f（x）=的定义域为R，且f（-n）=0（n∈N*）
（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；
（Ⅱ）若f（1）=，且f（x）在[0，1]上的最小值为，试求f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N），试比较S_n与n+的大小并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）定义域为R，∴1+a•2^bx≠0，可得a≥0．若若a=0，f（x）=1为定值，与条件矛盾．故可得a＞0，
再由来确定b＜0即可．
（Ⅱ）由可得a和b的一个关系，再由（1）可知知f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=，又可得a和b的另一个关系，联立即可求出a和b．
（Ⅲ）由f（x）的解析式可知，f（n）＜1，所以S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）＜n，而＞n，故可比较大小．
解答：解（Ⅰ）∵f（x）定义域为R，∴1+a•2^bx≠0，即a≠-2^-bx而x∈R，∴a≥0．
若a=0，f（x）=1与f（-n）=0矛盾，∴a＞0，∴=
∴2^-b＞1即b＜0，故a＞0，b＜0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]上为增函数，
∴f（0）=，即，∴a=1，f（1）=，
∴2^b=，∴b=-2，∴f（x）=．
（Ⅲ）当k∈N*时，S_n＜n+，证明如下：
f（k）=1-＜1，∴f（1）+f（2）+f（3）++f（n）＜n
而n+＞n，∴k∈N*时，S_n＜n+
点评：本题考查数列的极限及应用、求函数解析式、比较大小等知识，综合性强．考查逻辑推理能力和运算能力．