题目内容

9．若A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异的两点，且在x轴同侧，点C（2，0）．若直线AC，BC的斜率互为相反数，则y1y2=（　　）
A．2B．4C．6D．8

分析 运用A，B在抛物线上，满足抛物线方程，再由直线的斜率公式，化简整理计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得，y12=2x1，y22=2x2，
kAC=$\frac{{y}_{1}-0}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2}-2}$，kBC=$\frac{{y}_{2}-0}{\frac{{y}_{2}^{2}}{2}-2}$，
若直线AC，BC的斜率互为相反数，
则kAC+kBC=0，$\frac{{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-4}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{2}^{2}-4}=0$，
整理得：${y}_{1}{y}_{2}^{2}+{y}_{2}{y}_{1}^{2}-4{y}_{1}-4{y}_{2}=0$，
（y1y2-4）（y1+y2）=0，
由于y1y2＞0，即y1y2=4．
故答案选：B．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线的斜率公式，考查化简整理的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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设，，若：，：，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

20．抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上位于第一象限的点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，若$\overrightarrow{FP}$在$\overrightarrow{FM}$方向上的投影为$\sqrt{2}$，则△FPM的外接圆的方程为（　　）
A．（x-1）2+（y-1）2=1B．（x-1）2+（y-2）2=4C．x2+（y-2）2=5D．x2+（y-1）2=2
17．已知点A是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为其焦点，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是$\frac{128}{3}$，则抛物线的方程是（　　）
A．y2=12xB．y2=14xC．y2=16xD．y2=18x
4．求当a为何实数时，复数z=（a2-2a-3）+（a2+a-12）i满足：
（Ⅰ）z为实数；
（Ⅱ）z为纯虚数；
（Ⅲ）z位于第四象限．
14．已知复数z满足（1-i）z=ai+1，在复平面内复数z对应的点在第一象限（其中i为虚数单位），则实数a的取值可以为（　　）
A．0B．1C．-1D．2
1．如图，椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上，满足BM=2MA，直线OM的斜率为$\frac{1}{4}$．
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为$\frac{11}{5}$，求椭圆E的方程．
18．对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（Ⅰ）给出一组函数：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1，则h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
（Ⅱ）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．
19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（Ⅰ）若点A（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1）均在椭圆C上，求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点（0，1），斜率为k（k＜0）的直线l与圆O：x2+y2=$\frac{1}{2}$相切，且与椭圆C交于M，N两点，若以MN为直径的圆恒过原点O，则当a∈[$\frac{\sqrt{42}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]时，求椭圆C的离心率e的取值范围．

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