Question

已知a＞0，f（x）=a•e^x是定义在R上的函数，函数，并且曲线y=f（x）在其与坐标轴交点处的切线和曲线y=f^-1（x）在其与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求a的值；
（2）设函数，当x＞0且x≠1时，不等式恒成立，求实数m的取值集合．

Answer 1

解：（1）由已知条件可知：函数f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲线y=f（x）只与y轴有交点M（0，a）；函数，所以曲线y=f^-1（x）只与x轴有交点N（a，0）．
而，
有 f'（0）=[f^-1（a）]'，即 ?a=±1．
而a＞0，即a=1．
（2）由（1）可得，从而有
当x＞0且x≠1时，．
①当x∈（0，1）时，
令，则
再令，则
当x∈（0，1）时，，所以h（x）＞h（1）=0，进而
所以有φ（x）＜φ（1）=1，这样此时只需m≥1即可；
②当x∈（1，+∞）时，
令，则
再令，则
当x∈（1，+∞）时，，所以h（x）＞h（1）=0，进而
所以有φ（x）＞φ（1）=1，这样此时只需m≤1即可；
根据题意，①②两种情形应当同时成立，因此m=1，即其取值集合为{1}
分析：（1）由已知条件可知：函数f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲线y=f（x）只与y轴有交点M（0，a）；函数，所以曲线y=f^-1（x）只与x轴有交点N（a，0）．利用在其与坐标轴交点处的切线互相平行，可得f'（0）=[f^-1（a）]'，从而可求a=1．
（2）由（1）可得，从而有当x＞0且x≠1时，．①当x∈（0，1）时，；②当x∈（1，+∞）时，
从而可解．
点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，有一定的难度．