题目内容
如图，菱形
的边长为4，
，
.将菱形沿对角线
折起，得到三棱锥
，点
是棱
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）求二面角
的余弦值.
（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
.
解析试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于相应的底边证明
，然后结合直线与平面平行的判定定理即可证明
平面；（2）先利用翻折时
与的相对位置不变证明
，然后利用勾股定理证明
，并结合直线与平面垂直的判定定理先证明
平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
平面；（3）作
，连接
，利用（2）中的结论平面，先证明
平面
，进而说明
为二面角的平面角，然后在
中计算
，即可计算二面角的余弦值.
试题解析：（1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以
.
因为
平面ABD，
平面ABD，所以平面.
（2）因为在菱形ABCD中，，所以在三棱锥中，.
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因为O为BD的中点，
所以
.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以
.
因为
，所以
，即
.
因为
平面ABC，
平面ABC，
，所以平面ABC.
因为
平面DOM，所以平面平面.
（3）作于
，连结DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.
因为
，所以平面ODE.因为
平面ODE，所以
.
所以
是二面角的平面角.
在Rt△DOE中，
，
，
，
所以
.所以二面角的余弦值为.
考点：直线与平面平行、平面与平面平行、二面角
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中，底面
为直角梯形，
∥
，
，平面
⊥底面
为
是棱
上的点，
，
，
．
⊥平面
为棱
的中点，求异面直线
与
所成角的余弦值.
中，底面
是正方形，侧面
是正三角形，平面
底面
为线段VC的中点,求证：
平面
；
的体积．
的底面为矩形，
，
，
分别是
的中点，
．
平面
；
平面
．
中，侧棱
底面
，底面
为
上一点，
，
．
为
的中点，求证
平面
； 
的体积． 
、
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
、
分别是
的中点，
．
；
；
与圆柱
平面
，四边形
.
平面
；
的体积．
中，
平面
，
平面
，
．
平面
；
的大小．
的侧棱与底面
垂直，底面
，侧棱
，
分别是
与
的中点，点
在平面
上的射影是
的垂心
；