Question

7．正三棱锥高为1，底面边长为2$\sqrt{6}$，内有一球与四个面都相切．
（1）求棱锥的全面积；
（2）求球的半径及表面积．

Answer 1

分析 （1）过PA与球心O作截面PAE，与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，确定AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，因为正三棱锥的高PD=1通过球心，所以D是三角形△ABC的重心，可求棱锥的表面积．
（2）利用△POF∽△PED，求出球的半径及表面积．

解答 解：过PA与球心O作截面PAE，与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE（如图）
∵△ABC是正三角形，
∴AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，
又因为正三棱锥的高PD=1通过球心，所以D是三角形△ABC的重心，
∵底面正三角形边长为2$\sqrt{6}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，
又PE为侧面之高，所以PE=$\sqrt{3}$．
所以棱锥的表面积=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{6}$）²=9$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$．
（2）设球的半径为r，由△POF∽△PED，知$\frac{r}{DE}$=$\frac{1-r}{PE}$，
所以r=$\sqrt{6}$-2，S=4πr²=（32-16$\sqrt{6}$）π．

点评 本题考查棱锥的表面积和球的半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．