题目内容
2.已知函数f(x)=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$.(1)分别求出f(2),f($\frac{1}{2}$),f(3),f($\frac{1}{3}$)的值;
(2)根据(1)中所求得的结果,写出f(x)与f($\frac{1}{x}$)之间满足的等式关系,并证明这个等式关系.
分析 (1)根据函数的解析式依次求出f(2),f($\frac{1}{2}$),f(3),f($\frac{1}{3}$)的值;
(2)由(1)归纳出f(x)与f($\frac{1}{x}$)满足的关系时,根据解析式化简f(x)+f($\frac{1}{x}$)即可.
解答 解:(1)由题意得,f(x)=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$,
则f(2)=$\frac{4}{1+4}$=$\frac{4}{5}$,f($\frac{1}{2}$)=$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{5}$,
f(3)=$\frac{9}{10}$,f($\frac{1}{3}$)=$\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{10}$;
(2)由(1)可得f(x)+f($\frac{1}{x}$)=1,
证明如下:f(x)+f($\frac{1}{x}$)=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{1+{x}^{2}}$=1,
所以结论成立.
点评 本题考查函数值以及函数值的规律性,归纳推理的应用,考查化简能力.
练习册系列答案
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A. | a是整数 | B. | a是无理数 | C. | a是有理数 | D. | a不存在 |