Question

17．已知二次函数f（x）=ax²+bx+a的对称轴为x=$\frac{7}{4}$，且方程f（x）-（7x+a）=0有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[1，3]上的值域；
（3）是否存在实数m（m＞0）？使f（x）的定义域为[m，3]，值域为[1，3m]；若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，结合根的判别式求出a，b的值即可；
（2）先求出函数的对称轴，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值；
（3）通过讨论m的范围，得到关于m的方程，从而求出m的值即可．

解答 解：（1）因为二次函数f（x）=ax²+bx+a的对称轴为x=$\frac{7}{4}$，
所以-$\frac{b}{2a}$=$\frac{7}{4}$，
又方程f（x）=7x+a有两个相等的实数根，
所以方程f（x）=7x+a的判别式△=（b-7）²-4a•0=0，
故b=7，a=-2，
∴f（x）=-2x²+7x-2；
（2）由（1）得：f（x）=-2${（x-\frac{7}{4}）}^{2}$+$\frac{33}{8}$，对称轴x=$\frac{7}{4}$，
f（x）在[1，3]上的最大值是f（$\frac{7}{4}$）=-2×${（\frac{7}{4}）}^{2}$+7×$\frac{7}{4}$-2=$\frac{33}{8}$，
f（x）在[1，3]上的最小值是f（3）=-2×3²+7×3-2=1，
所以f（x）在[1，3]上的值域是[1，$\frac{33}{8}$]；
（3）由（2）知f（3）=1，
若m=$\frac{7}{4}$，则3m≠$\frac{33}{8}$，不符合，
那么m＞$\frac{7}{4}$，
则f（m）=-2m²+7m-2=3m，
解得：m=1，不符合，
故不存在实数m满足已知条件．

点评 不同考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查分类讨论，是一道中档题．