Question

如图，△OBC的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P₁为线段BC的中点，P₂为线段CO的中点，P₃为线段OP₁的中点，对于每一个正整数n,P_n+3为线段P_nP_n+1的中点，令P_n的坐标为（x_n,y_n）,a_n=y_n+y_n+1+y_n+2.

(Ⅰ)求a₁,a₂,a₃及a_n;

(Ⅱ)证明y_n+4=1-,n∈N^*,

(Ⅲ)若记b_n=y_4n+4-y_4n,n∈N^*,证明{b_n}是等比数列.

Answer 1

 (Ⅰ)因为y₁=y₂=y₄=1,y₃= ,y₅=,所以a₁=a₂=a₃=2.又由题意可知y_n+3=.

∴a_n+1=y_n+1+y_n+2+y_n+3=y_n+1+y_n+2+=y_n+y_n+1+y_n+2=a_n,∴{a_n}为常数列.∴a_n=a₁=2,n∈N^*.

(Ⅱ)将等式y_n+y_n+1+y_n+2=2两边除以2,得y_n+=1,又∵y_n+4=,∴y_n+4=1-.

(Ⅲ)∵b_n+1=y_4n+8-y_4n+4=-=-(y_4n+4-y_4n)=-  b_n,又∵b₁=y₈-y₄=-≠0,∴{b_n}是公比为- 的等比数列.