题目内容
【题目】已知函数
，
.其中
，
（1）若
.求证：
.
（2）若不等式
对
恒成立，试求
的取值范围
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）求导得到
，存在
，使
，
，故
，代入
，计算得到证明.
（2）将
代入不等式，得到
，根据函数
的单调性得到；再设
，求导得到单调性，计算
得到答案.
（1）由
，得
，
，所以有，
所以
在
上单调递增，且
，
，
所以存在，使，
所以当
时，
，当
时，
，
所以，（*）
且，即
，两边取对数，得，
代入（*），有
，得证.
（2）由题意得
对成立，
（ⅰ）必要性，将代入上述不等式，得
，
即，
令，
易知
在
上单调递增，且
，所以.
（ⅱ）下证当时，对成立.
即证
，
因为，所以
，
设，则
，
显然
在上单调递减，且
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故，不等式得证.
由（ⅰ）和（ⅱ）可知.
练习册系列答案
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【题目】秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市50%的企业进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示：
评估得分 |
|
|
|
|
评定等级 | 不合格 | 合格 | 良好 | 优秀 |
奖励（万元） |
| 20 | 40 | 80 |
（1）环保部门对企业抽查评估完成后，随机抽取了50家企业的评估得分（
分）为样本，得到如下频率分布表：
评估得分 |
|
|
|
|
|
|
频率 | 0.04 | 0.10 |
|
| 0.20 | 0.12 |
其中
、
表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是73.6.现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取3个，若以样本中频率为概率，求至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率；
（2）某企业为取得一个好的得分，在评估前投入80万元进行技术改造，由于技术水平问题，被评定为“合格”“良好”和“优秀”的概率分别为
，
和
，且由此增加的产值分别为20万元，40万元和60万元.设该企业当年因改造而增加的利润为
万元，求的数学期望.
