Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，若对，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，在上单调递增， ，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）求出的定义域为，求导数，若，若，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知，在上单调递增，从而，等价于，，令，通过函数的导数求解函数的最值，推出结果.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，求导数，得.若，则，此时在上单调递增，若，则由，得.当时，；但时，，此时在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）不妨设，而，由（Ⅰ）知，在上单调递增，∴.

从而，等价于，①，令，则，因此，①等价于在上单调递减，∴对恒成立，∴对恒成立，∴.又，当且仅当，即时，等号成立，∴，故的取值范围为.