Question

在数列{a_n}中，a₁=1，且对于任意正整数n，都有a_n+1=2a_n+n，则a_n=

3•2^n-1-n-1（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由a_n+1=2a_n+n，知a_n+1+（n+1）+1=2（a_n+n+1），由a₁+1+1=3，知数列{a_n+（n+1）}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a_n+（n+1）=3•2^n-1，由此能求出a_n．

解答：解：∵a_n+1=2a_n+n，
∴a_n+1+（n+1）+1=2（a_n+n+1），
∴

an+1+(n+1)+1

an+n+1

=2，
∵a₁+1+1=3，
∴数列{a_n+（n+1）}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴a_n+（n+1）=3•2^n-1，
所以a_n=3•2^n-1-n-1（n∈N^*）．
故答案为：3•2^n-1-n-1（n∈N^*）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法--配凑法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．