题目内容

若f（x）=2tanx-
2sin2
x
2
-1
sin
x
2
cos
x
2
，则f(
π
12
)的值为
 
．
分析：先利用二倍角公式的变形形式cosx=1-2sin2
x
2
，sinx=2sin
x
2
cos 
x
2
，对函数化简可得，f（x）=
4
sin2x
，把x=
π
12
代入可求
解答：解：∵f（x）=2tanx-
2sin2
x
2
-1
sin
x
2
cos
x
2
=2 (
sinx
cosx
+
cosx
sinx
)=
2
sinxcosx
=
4
sin2x

∴f(
π
12
) =
4
sin
π
6
=8
故答案为：8
点评：本题主要考查了二倍角公式的变形形式cosx=1-2sin2
x
2
，sinx=2sin
x
2
cos 
x
2
，及切化弦在三角函数化简求值中的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab．当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=
a3
x2+2tanθ•x+b在区间[1，+∞）上单调，求θ的取值范围；
（3）不等式（t-2）f（x）≥t2+（m-2）t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取范围．
在平面直角坐标系中，已知A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）共线，其中θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）将x表示为y的函数，并求出函数表达式y=f（x）；
（2）若y=f（x）在[-1，
3
]上是单调函数，求θ的取值范围．
（2011•自贡三模）给出下列5个命题：
①0＜a≤
1
5
是函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件
②如图所示，“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入以月球球心F为一个焦点的椭圆叙道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2cl和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则有a1-c1=a2-c2；
③y=f（x）与它的反函数y=f-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④若a∈（π，
5π
4
），则
1
1-tanα
＞1+tanα＞
2tanα
；
⑤函数f（x）=
e-x+3
e-x+2
（e是自然对数的底数）的最小值为2．
其中所有真命题的代号有
②④
②④
．
给出下列4个命题：
①0＜a≤
1
5
是f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件；
②函数f（x）=
e-x+3
e-x+2
（e是自然对数的底数）的最小值为2；
③y=f（x）与它的反函数y=f-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④若α∈（π，
5π
4
），则
1
1-tanα
＞1+tanα＞
2tanα
；
其中所有假命题的代号有
①②③
①②③
．
已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab．当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=
a
3
x2+2tanθ•x+b在区间[1，+∞）上单调，求θ的取值范围；
（3）不等式（t-2）f（x）≥t2+（m-2）t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取范围．

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