Question

在平面直角坐标系中，已知A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）共线，其中θ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）将x表示为y的函数，并求出函数表达式y=f（x）；
（2）若y=f（x）在[-1，

3

]上是单调函数，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，欲求函数表达式y=f（x），可由A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+3）三点共线建立方程，得到y关于x的函数表达式；
（2）由（1）y关于x的函数表达式是一个二次函数，由于其在[-1，

3

]上是单调函数，可知此区间一定在函数对称轴的一侧，由此关系转化出关于θ的三角不等式，解出θ的取值范围

解答：解：（1）∵A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）
∴

AB

=（1，x），

AC

=（x+2tanθ，y+1）
∵A，B，C三点共线，
∴x（x+2tanθ）-（y+1）=0
即y=f（x）=x²+2xtanθ-1
∴f（x）=x²+2xtanθ-1
（2）∵f（x）=x²+2xtanθ-1=（x+tanθ）²-tan²θ-1
又y=f（x）在[-1，

3

]上是单调函数
∴-tanθ≥

3

或-tanθ≤-1即tanθ≤-

3

或tanθ≥1
∵θ∈（-

π

2

，

π

2

），
∴θ∈（-

π

2

，-

π

3

]∪[

π

4

，

π

2

）
∴θ的取值范围是（-

π

2

，-

π

3

]∪[

π

4

，

π

2

）

点评：本题考查平面向量的综合运用，是向量与函数相结合的一个题，第一小题解题的关键是理解三点共线，由三点共线得出x与y关系的方程，整理出函数表达式；第二小题是一个考查二次函数性质的题，理解二次函数的单调性，将单调性转化为不等式是解题的关键，本题考查了转化的思想，方程的思想，涉及到了向量的共线条件，二次函数的性质，三角不等式的解法，是一道综合性较强的题