Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab．当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=

a

3

x2+2tanθ•x+b在区间[1，+∞）上单调，求θ的取值范围；
（3）不等式（t-2）f（x）≥t²+（m-2）t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 a＜0，且-3和2是方程f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab=0 的2个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系解得a和b的值，即可求得f（x）的解析式
（2）由于函数g(x)=

a

3

x2+2tanθ•x+b=-x²+2tanθx+5 的对称轴为 x=tanθ，且在区间[1，+∞）上单调，可得tanθ≤1，由此求得θ 的范围．
（3）由题意可得可得 （6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立．故函数h（x）=（6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值为h（-

1

2

）=（

83

4

-m）t+2m-

79

2

≥0对t∈[-1，1]恒成立．故有 （

83

4

-m）×1+2m-

79

2

≥0 且（

83

4

-m）（-1）+2m-

79

2

≥0，由此求得m 的范围．

解答：解：（1）由题意可得 a＜0 且-3和2是方程f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab=0 的2个实数根，
∴-3+2=

b-8

-a

，且-3×2=

-a-ab

a

，解得 a=-3，b=5，∴f（x）=-3x²-3x+18．
（2）若函数g(x)=

a

3

x2+2tanθ•x+b=-x²+2tanθx+5 的对称轴为 x=tanθ，且在区间[1，+∞）上单调，
故有 tanθ≤1，∴θ∈（kπ-

π

2

，kπ+

π

4

），k∈z．
（3）不等式（t-2）f（x）≥t²+（m-2）t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，
可得 （6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立．
把x当作自变量，可得此一元二次不等式对应的二次函数的对称轴为x=-

1

2

，
故函数h（x）=（6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值为h（-

1

2

）=（

83

4

-m）t+2m-

79

2

≥0对t∈[-1，1]恒成立．
故有 （

83

4

-m）×1+2m-

79

2

≥0 且 （

83

4

-m）（-1）+2m-

79

2

≥0，求得 m≥

241

4

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．