Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，，且，平面BCE.

（1）证明：平面平面BDFE；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）先推导出，，证得平面ABCD，进而得到，由此能力证明平面BDFE，从而得到平面平面BDFE；

（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

（1）由题意，因为四边形ABCD为正方形，.

，，.

又平面BCE，.

，平面ABCD，.

又，平面BDFE，

平面AEC，平面平面BDFE.

（2）平面ABCD，，所以平面ABCD，

以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，

则，，，，

所以，，，

设平面AFC的法向量为，则，

令，则，所以，

设平面EFC的法向量为，则，

令，则，，所以，

.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.