Question

已知数列

1

1×3

，

1

3×5

，

1

5×7

，…，

1

(2n-1)(2n+1)

，…，计算S₁，S₂，S₃，根据计算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法给出证明．

Answer 1

分析：利用数列的前三项，可计算S₁，S₂，S₃，从而可猜想S_n的表达式，利用数学归纳法进行证明，关键是第二步假设n=k时，猜想成立，再使用归纳假设，证明n=k+1时，猜想成立．

解答：解：S1=

1

3

，S2=

1

1×3

+

1

3×5

=

2

5

，S3=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

3

7

…（2分）
猜想Sn=

n

2n+1

…（4分）
以下用数学归纳法证明这个猜想
（1）当n=1时，左边=S₁=

1

3

，右边=

n

2n+1

=

1

3

，猜想成立；
（2）假设n=k时，猜想成立，即Sk=

k

2k+1

，
那么当n=k+1时

Sk+1=Sk+ 1 (2k+1)(2k+3) = k 2k+1 + 1 (2k+1)(2k+3) = 2k2+3k+1 (2k+1)(2k+3) = (k+1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) = k+1 2(k+1)+1

∴n=k+1时猜想也成立…（11分）
由（1）（2）可知猜想对任意n∈N^*成立…（12分）

点评：本题考查数学归纳法的运用，解题的关键是利用数学归纳法进行证明，第二步要使用归纳假设．