题目内容

已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，
（1）计算S1，S2，S3，S4，
（2）根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
【答案】分析：（1）按照数列和的定义计算即可
（2）按照数学归纳法的证明步骤进行证明．
解答：解：（1）S1==，
S2==，
S3=S2+=，
S4=S3+=．
推测Sn=（n∈N*）．用数学归纳法证明如下：…（5分）
（1）当n=1时，S1==，等式成立
（2）假设当n=k时，等式成立，
即Sk=，那么当n=k+1时，
Sk+1=Sk+
=+
=
=
=
=
也就是说，当n=k+1时，等式成立．
根据（1）和（2），可知对一切n∈N*，等式均成立…（10分）
点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．
练习册系列答案
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已知数列an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且S6=9S3，则数列an的通项公式是（　　）
A、2n-1B、21-nC、31-nD、3n-1
已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），
（1）求数列an的通项公式；
（2）设bn=
Sn2n
，如果对一切正整数n都有bn≤t，求t的最小值．
已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，
c1
1
+
c2
22
+…+
cn
n2
=
cn+1
n+1
（n∈N*）
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列cn的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得k(an+
7
2
)-
3
bn+1
＞cn+6n+15对一切n∈N*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由．
设数列{an}的前n项和为Sn，Tn=
S1+S2+…+Sn
n
，称Tn为数列a1，a2，…an的“理想数”，已知数列a1，a2，…a500的“理想数”为2004，那么数列2，a1，a2，…a500的“理想数”为（　　）
已知数列
2
、
6
、
10
、
14
、3
2
…那么7
2
是这个数列的第几项（　　）
A、23B、24C、19D、25

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