题目内容

在数列{an}中，已知a1=p＞0且log2（an+1an）=2n+1．
（1）若数列{an}是等差数列，求的p值．
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
分析：由已知可知an•an+1=22n+1，a1=p，代入可求a2，a3
（1）若数列{an}为等差数列，则2a2=a1+a3，可求p
（2）由已知可知数列的奇数项、偶数项分别为等比数列，分类讨论求和即可
解答：解：∵log2an+1•an=22n+1
∴an+1•an=22n+1，
∵a1=p
∴a2=
8
p
，a3= 
32
8
p
=4p
（1）若数列{an}为等差数列，则2a2=a1+a3
即
16
p
=p+4p，p＞0
∴p=
4
5
5


（2）a1=
4
5
5

，∴
an•an+1
anan-1
=
an+1
an-1
=22=4
Sn=
p(1-4k)
1-4
+
8
p
(1-4k)
1-4
=
4k- 1
3
p+
8(4k-1)
3p
（n=2k，k∈N+）
Sn=
4k-1
3
p+
8(4k-1-1)
3p
 （n=2k-1，k∈N+）
Sn=
4k-1
3
p+
8(4ki-1)
3p
，n=2k
4k-1
3
p+
8(4k-1-1)
3p
，n=2k-1
点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比数列的前n项和的求解，求和时体现了分类讨论的基本思想，这是高中数学的重要思想．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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