Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AA₁，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．
（1）求证：EF∥平面BDC₁；  
（2）求证：平面．

Answer 1

证明见解析.

试题分析：（1）要证线面平行，就是要在平面内找一条直线与直线平行，本题中容易看出就是要证明　，而这个在四边形中只要取中点，可证明即得；（2）要证平面，根据线面垂直的判定定理，就是要证与平面内的两条相交直线垂直，观察已知条件，正三棱柱的侧面是正方形，因此有，下面还要找一条垂线，最好在，中找一条，在平面中，由平面几何知识易得，又由正三棱柱的性质可得平面，从而，因此有平面，即有，于是结论得证.
（1）证明：取的中点M，因为，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，      2分
在正三棱柱中，分别为的中点，
所以，且，则四边形A₁DBM为平行四边形，

所以，所以，                         5分
又因为平面，平面，所以，平面          7分
（2）连接，因为在正三角中，为的中点，
所以，，所以，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，面，
所以，，因为，所以，四边形为正方形，由分别为的中点，所以，可证得，
所以，面，即，        11分
又因为在正方形中，，所以面,             14分