Question

已知点列A_n(x_n,0)，n∈N^*，其中x₁＝0，x₂＝a(a>0)，A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，…，

(1)写出x_n与x_n－1、x_n－2之间的关系式(n≥3)；

(2)设a_n＝x_n＋1－x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明．

Answer 1

由此推测a_n＝(－)^n－1a(n∈N^*)．

证法1：因为a₁＝a>0，且

a_n＝x_n＋1－x_n＝－x_n＝＝－(x_n－x_n－1)＝－a_n－1(n≥2)，

所以a_n＝(－)^n－1a.

证法2：用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，a₁＝x₂－x₁＝a＝(－)⁰a，公式成立．

(2)假设当n＝k时，公式成立，即a_k＝(－)^k－1a成立．那么当n＝k＋1时，

a_k＋1＝x_k＋2－x_k＋1＝－x_k＋1＝－(x_k＋1－x_k)＝－a_k＝－(－)^k－1a＝(－)^(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N^*，公式a_n＝(－)^n－1a成立．