Question

设函数y＝f(x)对任意实数x，都有f(x)＝2f(x＋1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x²(1－x)．

(Ⅰ)已知n∈N₊，当x∈[n，n＋1]时，求y＝f(x)的解析式；

(Ⅱ)求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n＋1]时，都有|f(x)|≤；

(Ⅲ)对于函数y＝f(x)(x∈[0，＋∞)，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x＋y＝1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由f(x)＝2f(x＋1)→f(x)＝(x－1)，x∈[n，n＋1]，则(x－n)∈[0，1]→f(x－n)＝(x－n)2(1＋n－x)．f(x)＝f(x－1)＝f(x－2)＝…＝f(x－n)＝(x－n)2(1＋n－x)．(n＝0也适用)．4分 　　(Ⅱ)(x)＝，由(x)＝0得x＝n或x＝n＋ 　　f(x)的极大值为f(x)的最大值，， 　　又f(x)≥f(n)＝f(n＋1)＝0，∴|f(x)|＝f(x)≤(x∈[n，n＋1])．8分 　　(Ⅲ)y＝f(x)，x∈[0，＋∞即为y＝f(x)，x∈[n，n＋1]，(x)＝－1． 　　本题转化为方程(x)＝－1在[n，n＋1]上有解问题 　　即方程在[n，n＋1]内是否有解．11分 　　令g(x)＝， 　　对轴称x＝n＋∈[n，n＋1]， 　　又△＝…＝，g(n)＝，g(n＋1)＝， 　　①当0≤n≤2时，g(n＋1)≥0，∴方程g(x)＝0在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]上分别有一解，即存在三个点P； 　　②n≥3时，g(n＋1)＜0，方程g(x)＝0在[n，n＋1]上无解，即不存在这样点P． 　　综上所述：满足条件的点P有三个．16分